La fonction \(\lambda\)
Nous allons ici effleurer l'un des plus fascinants domaines des Mathématiques. Bien qu'il y en ait de très nombreux autres, ce domaine recèle (à mon humble avis) une forme de beauté quasi-mystique, mais passons... Mon objectif est de montrer les formules menant aux suites d'ordre \(n\) des frères Borweins ainsi que les formules de Ramanujan (et leurs variantes des Chudnovsky et Borwein). Si je commence à partir dans d'autres directions, même très légèrement, nous n'en finirons jamais. C'est pourquoi je ne vais traiter que les cas spécifiques à mon but, avec un minimum de généralisation. Quand l'objectif sera atteint, peut-être élargirai-je cet exposé, mais toujours en gardant \(\pi\) comme fil conducteur.
Pour grandement simplifier, nous n'allons pas étudier la fonction \(k(q)\), mais l'une de ses "variantes": la fonction \(\lambda\). Nous allons aussi faire un petit saut dans le domaine des complexes.
Soit \(\mathscr{H}\) le demi-plan de Poincaré, l'ensemble des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Soit \( \lambda \) la fonction de \(\mathscr{H}\) dans \(\mathbb{C}\) telle que: \[ \lambda(t) = k^2(q) = \frac{\theta_2^4(q)}{\theta_3^4(q)} = 16 q \prod_{n=1}^{+ \infty} \frac{{(1 + q^{2n})}^8}{{(1 + q^{2n-1})}^8} \qquad q = e^{i \pi t} \] Remarquons que pour \(t = a+ib \) avec \(b>0\) , on a \( q = e^{i \pi t} = e^{i \pi a} e^{-\pi b} \) , donc \( |q| = e^{-\pi b} < 1 \) et les produits infinis (ainsi que les sommes définissant les fonctions theta) convergent.
Notons aussi que tous les résultats précédement obtenus sur les fonctions theta, de par leur nature essentiellement "algébrique", restent valables, y compris le triple produit de Jacobi, lorsque \(q\) est complexe de module inférieur à \(1\). Quant à la formule de Poisson, l'ayant démontré en se plaçant déjà dans \( \mathbb{C} \), elle y est bien évidement valable.
Dans un premier temps, on voit que \( \lambda(t+2) \) mène à \( q = e^{i \pi (t+2)} = e^{i \pi t} \) , le même \( q \) que pour \( \lambda(t) \) . On a donc: \[ \lambda(t+2) = \lambda(t) \tag{1} \] La fonction \( \lambda \) est donc "périodique", de période \(2\). Il n'y a rien de vraiment surprenant car cela vient juste de la forme utilisée pour exprimer \(q\) en fonction de \(t\).
Dans un deuxième temps, en regardant \( \lambda(- \frac{1}{t} ) \) , on a \( q = e^{\frac{-i \pi}{t}} = e^{\frac{\pi}{it}} \) or, on sait que: \[ \theta_3(e^{- \frac{\pi}{s}}) = \sqrt{s} \; \theta_3(e^{-\pi s}) \\ \theta_2(e^{- \frac{\pi}{s}}) = \sqrt{s} \; \theta_4(e^{-\pi s}) \] En faisant \( s = -it \) , on obtient: \[ \begin{aligned} \lambda \left( - \frac{1}{t} \right) \; & = \frac{\theta_2^4(e^{-\frac{\pi}{it}})}{\theta_3^4(e^{-\frac{\pi}{it}})} \\ & = \frac{{(\sqrt{-it} \; \theta_4(e^{i \pi t}))}^4}{{(\sqrt{-it} \; \theta_3(e^{i \pi t}))}^4} \\ & = \frac{\theta_4^4(e^{i \pi t})}{\theta_3^4(e^{i \pi t})} \\ & = 1 - \frac{\theta_2^4(e^{i \pi t})}{\theta_3^4(e^{i \pi t})} \\ & = 1 - \lambda(t) \end{aligned} \] Pour retomber sur \( \lambda(t) \) dans le membre de droite, faisons la petite manipulation suivante: ôtons \(2\) à l'argument du membre de gauche, ce qui ne changera pas le membre de droite: \[ \lambda \left( -2 - \frac{1}{t} \right) = 1 - \lambda(t) \] puis faisons "l'opposé de l'inverse" de l'argument du membre de gauche pour retomber sur \( \lambda(t) \) à droite: \[ \lambda \left( - \frac{1}{-2 - \frac{1}{t}} \right) = \lambda(t) \] En simplifiant l'argument de gauche, on trouve: \[ \lambda \left( \frac{t}{2t + 1} \right) = \lambda(t) \tag{2} \] Là, c'est un peu plus surprenant. Et surtout, nous avons deux transformations par lesquelles \(\lambda\) est invariante. Dans le cas des fonctions périodiques de période \(T\), on sait qu'elles sont aussi invariantes pour toute translation d'un multiple de \(T\). Mais, ici, c'est un peu plus compliqué: \(\lambda\) est invariante pour toutes les transformations composées des deux que nous venons de voir, et l'une d'elles n'est pas une translation.
Lorsque la partie imaginaire de \(t\) tend vers l'infini, \(q\) tend vers \(0\) et donc: \[ \lim_{t \to i\infty} \lambda(t) = 0 \] De plus, lorsque \(t\) tend vers \(0\) (en ayant une partie imaginaire strictement positive), alors la partie imaginaire de \(-\frac{1}{t}\) tend vers l'infini et \(\lambda \left( -\frac{1}{t} \right) = 1 - \lambda(t) \) tend vers \(0\). D'où: \[ \lim_{t \to 0} \lambda(t) = 1 \] En remarquant que: \( e^{i\pi(t+1)} = -e^{i\pi t} \), et que, de l'écriture sous forme de série de \(\theta_2\), on a: \( \theta_2^4(-q) = -\theta_2^4(q) \), on peut écrire: \[ \begin{aligned} \lambda(t+1) \; & = \frac{\theta_2^4(-q)}{\theta_3^4(-q)} \\ & = -\frac{\theta_2^4(q)}{\theta_4^4(q)} \\ & = -\frac{\frac{\theta_2^4(q)}{\theta_3^4(q)}}{\frac{\theta_4^4(q)}{\theta_3^4(q)}} \\ & = -\frac{\lambda(t)}{1 - \frac{\theta_2^4(q)}{\theta_3^4(q)}} \\ & = \frac{\lambda(t)}{\lambda(t) - 1} \end{aligned} \] D'où: \[ \lim_{t \to \pm 1} \lambda(t) = + \infty \]
Pour poursuivre l'étude de la fonction \(\lambda\), il va nous falloir bien comprendre ce que signifie: "être invariante pour ces deux transformations". C'est à dire, dans un premier temps, voir quelle est la structure de l'ensemble de toutes les composées de ces transformations. Et, en mathématiques, une théorie est dédiée à ce genre de structure: la théorie des groupes. Ensuite, dans un second temps, nous verrons comment cette extraordinaire propriété, d'être invariante par un groupe de transformations, pour \(\lambda\), va nous permettre d'obtenir des équations modulaires.
C'est ici que nous allons faire une (toute petite) incursion dans la théorie des fonctions automorphes, les fonctions invariantes par l'action d'un groupe donné. C'est une théorie très générale donc très féconde (et très difficile) car les groupes peuvent avoir des structures très variées. Lorsque ce groupe est le groupe modulaire, celui des transformations \( t \longmapsto \frac{at + b}{ct + d} \) où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des entiers tels que \( ad-bc = 1 \), les fonctions automorphes pour ce groupe (et admettant une limite éventuellement infinie, en \(i \infty\)) sont dites fonctions modulaires.
Un résultat utile
Dans la suite, nous aurons besoin du théorème suivant:
Démonstration:
Le lemme suivant nous sera utile:
Si \(f(x)\) et \(g(x)\) s'écrivent: \[ f(x) = 1 + \sum_{k=1}^{+ \infty} a_k x^k \\ g(x) = 1 + \sum_{k=1}^{+ \infty} b_k x^k \] où les \(a_k\) et les \(b_k\) sont entiers, alors \( f(x) g(x) \) peut s'écrire: \[ f(x) g(x) = 1 + \sum_{k=1}^{+ \infty} c_k \; x^k \] où les \( c_k \) sont entiers.
Si, de plus, les \(b_k\) sont tous nuls pour \( 1 \leq k \leq n \) , alors les \( c_k = a_k \) pour \( 1 \leq k \leq n \).
Démonstration:
Il est immédiat que: \[ \begin{aligned} f(x) g(x) \; & = 1 + \sum_{k=1}^{+ \infty} a_k \; x^k + \sum_{k=1}^{+ \infty} b_k \; x^k + \left( \sum_{k=1}^{+ \infty} a_k \; x^k \right) \left( \sum_{k=1}^{+ \infty} b_k \; x^k \right) \\ & = 1 + \sum_{k=1}^{+ \infty} (a_k+b_k) \; x^k + \sum_{\substack{j > 0 \\ k > 0}} a_j \; b_k \; x^{j+k} \\ & = 1 + \sum_{k=1}^{+ \infty} (a_k+b_k) \; x^k + \sum_{k=2}^{+ \infty} x^k \left( \sum_{j=1}^{k-1} a_j \; b_{k-j} \right) \\ & = 1 + (a_1+b_1) x + \sum_{k=2}^{+ \infty} x^k \left( a_k + b_k + \sum_{j=1}^{k-1} a_j \; b_{k-j} \right) \end{aligned} \] Donc en posant \( c_1 = a_1 + b_1 \) et, pour \(k \geq 2\) : \[ c_k = a_k + b_k + \sum_{j=1}^{k-1} a_j \; b_{k-j} \] Les \(a_k\) et \(b_k\) étant entiers, il est alors évident que les \(c_k\) sont entiers.
Il est immédiat que si \( b_k = 0 \) pour \( 1 \leq k \leq n \) , alors \( c_k = a_k \) pour \( 1 \leq k \leq n \).
Avec la notations \( q=e^{i \pi t} \) , le développement de \( \lambda \) en produit infini donne: \[ \frac{16}{\lambda(t)} = \frac{1}{q} \prod_{n=1}^{+ \infty} \frac{{(1 + q^{2n-1})}^8}{{(1 + q^{2n})}^8} \]
Pour tout \(n > 0\), nous avons: \[ \frac{1}{1 + q^{2n}} = \sum_{k=0}^{+ \infty} {(-1)}^k q^{2nk} = 1 + \sum_{k=1}^{+ \infty} {(-1)}^k q^{2nk} \] qui converge pour \( |q| < 1 \). On en déduit: \[ \begin{aligned} \frac{1 + q^{2n-1}}{1 + q^{2n}} \; & = ( 1 + q^{2n-1} ) \left( 1 + \sum_{k=1}^{+ \infty} {(-1)}^k q^{2nk} \right) \\ & = 1 + \sum_{k=1}^{+ \infty} {(-1)}^k q^{2nk} + q^{2n-1} + \sum_{k=1}^{+ \infty} {(-1)}^k q^{2nk+2n-1} \end{aligned} \] Donc, si nous posons, pour \( k \geq 1 \): \[ \left\{ \begin{array}{ll} a_k & = {(-1)}^{\frac{k}{2n}} \qquad \text{ si } k \equiv 0 [2n] \\ a_k & = {(-1)}^{1 + \frac{k+1}{2n}} \qquad \text{ si } k \equiv -1 [2n] \\ a_k & = 0 \qquad \text{ sinon} \end{array} \right. \] alors, les \(a_k\) sont manifestement entiers, \(a_k = 0\) pour \( 1 \leq k \leq 2n-2 \) et on a: \[ \frac{1 + q^{2n-1}}{1 + q^{2n}} = 1 + \sum_{k=1}^{+ \infty} a_k \; q^k \] En appliquant le lemme trois fois pour \(f(x) = g(x) = 1 + \sum_{k=1}^{+ \infty} a_k \; q^k\), on a donc: \[ \frac{{(1 + q^{2n-1})}^8}{{(1 + q^{2n})}^8} = 1 + \sum_{k=1}^{+ \infty} b_k \; q^k \tag{3} \] où les \(b_k\) sont entiers et \(b_k = 0\) pour \( 1 \leq k \leq 2n-2 \).
En multipliant alors l'égalité \((3)\) pour \(n=1\) par cette même égalité pour \(n=2\), le lemme s'applique et les coefficients de \(q^k\) sont entiers. Ainsi, en multipliant le résultat obtenu par l'égalité \((3)\) pour \(n=3\), puis \(n=4\), etc... jusqu'à \(n=N\), le lemme s'appliquant à chaque fois, les coefficients demeurent entiers. On a donc: \[ \prod_{n=1}^{N} \frac{{(1 + q^{2n-1})}^8}{{(1 + q^{2n})}^8} = 1 + \sum_{k=1}^{+ \infty} c_{N,k} \; q^k \tag{4} \] avec les \(c_{N,k}\) entiers.
Remarquons maintenant que l'égalité \((3)\) obtenue pour \(n=N+1\) donne des coefficients \(b_k\) nuls pour \(1 \leq k \leq 2N\), donc en appliquant le lemme lors du produit de \((4)\) par \((3)\) obtenue pour \(n=N+1\), nous avons le résultat suivant:
Les suites \(c_{n,k}\) (considérées comme des suites "en \(n\)") sont constantes à partir du rang \(n > \frac{k}{2}\).
Ce dernier résultat ainsi que la convergence uniforme des membres de droite des égalités \((3)\) et \((4)\) pour \(|q| < 1\) nous autorisent à passer à la limite en faisant tendre \(N\) vers l'infini. On obtient alors: \[ \prod_{n=1}^{+ \infty} \frac{{(1 + q^{2n-1})}^8}{{(1 + q^{2n})}^8} = 1 + \sum_{k=1}^{+ \infty} d_k \; q^k \] où les \(d_k\) sont des entiers. Une multiplication par \( \frac{1}{q} \) achève alors la démonstration.